Question

【题目】如图甲所示，水平地面上有一个底面积为500cm2、高度为50cm的薄壁容器，容器顶部盖着木板A（上面留有与大气相通的很多小孔），A下面粘连着正方体B，B与正方体D之间通过一根原长为10cm的轻质弹簧C相连，容器中刚好装满水，容器底部的阀门E关闭，此时B对A有向下的作用力，力的大小是40N。已知正方体B的边长为0.2m，正方体D的边长为0.1m、质量为0.8kg，弹簧C 的伸长量与受到的拉力关系如图乙所示。（所有物体均不吸水，不计一切摩擦力，整个过程弹簧轴线方向始终沿竖直方向且两端都连接牢固，弹簧始终在弹性限度内）求：

（1）图中弹簧的长度；

（2）正方体B的密度；

（3）打开阀门E放水，当水面从与D上表面相平到刚好与D下表面相平，需要放出多少千克的水？

Answer 1

【答案】（1）8cm （2）1.525×103kg/m3 （3）9kg

【解析】

（1）．以D为研究对象，其受到重力GD、浮力F浮D、弹簧对其的拉力FD三个力而处于静止，则有GD=F浮D+FD，

正方体D的重力为：

GD =mDg=0.8kg×10N/kg=8N，

正方体D受到的浮力为：

F浮D==1×103kg/m3×10N/kg×（0.1m）3=10N，

所以弹簧对D的拉力大小为：

FD= GD-F浮D=8N-10N=-2N，

说明此时弹簧是被D向上压缩，压力大小为FD=2N。根据乙图可知，此时弹簧被压缩了2cm，则此时弹簧长度为10cm-2cm=8cm。

（2）．正方体B受到的浮力为：

F浮B===80N，

由于弹簧受到D的压力为2N，则弹簧对B也有2N的压力F弹簧，另外B对A有向下的40N作用力，则A对B也有40N的向上的作用力FAB，即总的受到四个力作用：重力GB、浮力F浮B、弹簧对B的压力F弹簧、A对B的作用力FAB，在这四个力作用下，物体B处于静止，则：

GB=F浮B+F弹簧+FAB=80N+2N+40N=122N，

则B的质量为：

mB===12.2kg，

所以正方体B的密度为：

ρB===1.525×103kg/m3。

（3）．当水面与D上表面相平时，此时D上表面（即水面）到容器顶部的距离为B的高度加弹簧的长度，为0.2m+0.08m=0.28m，则此时容器中水的深度为h1=0.5m-0.28m=0.22m；当水面与D下表面相平时，此时D不受浮力，其对弹簧的拉力等于其重力为8N，根据乙图可知，此时弹簧伸长了8cm，弹簧长度为10cm+8cm=18cm=0.18m，则此时D下表面（即水面）到容器顶部的距离为B的高度加弹簧的长度再加D的高度，为0.2m+0.18m+0.1m=0.48m，则此时容器中水的深度为h2=0.5m-0.48m=0.02m。

则当水面从与D上表面相平到刚好与D下表面相平的过程中放出水的体积为：

V水=S容（h1-h2）-VD=500×10-4m2×（0.22m-0.02m）-（0.1m）3=9×10-3m3，

则放出水的质量为：

m水=ρ水V水=1×103kg/m3×9×10-3m3=9kg。

答：（1）．图中弹簧的长度为8cm；

（2）．正方体B的密度为1.525×103kg/m3；

（3）．打开阀门E放水，当水面从与D上表面相平到刚好与D下表面相平，需要放出9kg的水。