自主学习指导课程与测试八年级数学人教版
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13. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是高，$AE$，$BF$是$\triangle ABC$的角平分线，它们相交于点$O$，$BF$与$AD$交于点$G$，$\angle C=70^\circ$.
(1)$\angle AOB$的度数为______；
(2)若$\angle ABC=60^\circ$，求$\angle AGB$的度数.
答案：(1)125°
解析：$\angle AOB=180^\circ-\frac{1}{2}\angle BAC-\frac{1}{2}\angle ABC$，
$\angle BAC+\angle ABC=180^\circ-\angle C=110^\circ$，
所以$\angle AOB=180^\circ-\frac{1}{2}×110^\circ=125^\circ$。
(2)120°
解析：$\angle ABC=60^\circ$，$AD$是高，所以$\angle BAD=90^\circ-\angle ABC=30^\circ$，
$BF$平分$\angle ABC$，$\angle ABG=\frac{1}{2}×60^\circ=30^\circ$，
在$\triangle ABG$中，$\angle AGB=180^\circ-\angle BAD-\angle ABG=180^\circ - 30^\circ-30^\circ=120^\circ$
14. 在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=\alpha$，$\angle ACB=\beta$.
(1)如图甲，若$AP$平分$\angle BAC$，$BP$，$CP$分别平分$\triangle ABC$的外角$\angle CBM$和内角$\angle BCN$，$BD\perp AP$于点$D$.
①用$\alpha$的代数式表示$\angle BPC$的度数；
②用$\beta$的代数式表示$\angle PBD$的度数.
(2)如图乙，若点$P$为$\triangle ABC$的三条内角平分线的交点，且$BD\perp AP$于点$D$.
①请补全图形；
②猜想(1)中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请写出正确的结论.
答案：(1)①$\angle BPC=\frac{\alpha}{2}$
解析：$\angle CBM=180^\circ-\angle ABC$，$BP$平分$\angle CBM$，$\angle PBC=\frac{1}{2}(180^\circ-\angle ABC)=90^\circ-\frac{1}{2}\angle ABC$，
$CP$平分$\angle BCN$，$\angle BCP=\frac{1}{2}(180^\circ-\beta)=90^\circ-\frac{\beta}{2}$，
$\angle BPC=180^\circ-\angle PBC-\angle BCP=\frac{1}{2}(\angle ABC+\beta)=\frac{1}{2}(180^\circ-\alpha)=\frac{\alpha}{2}$。
②$\angle PBD=90^\circ-\frac{\beta}{2}$
解析：$BD\perp AP$，$\angle PBD=90^\circ-\angle BPD$，$\angle BPD=\frac{\beta}{2}$，所以$\angle PBD=90^\circ-\frac{\beta}{2}$。
(2)①图略（补全三条内角平分线交于$P$，$BD\perp AP$）；
②变化，$\angle BPC=90^\circ+\frac{\alpha}{2}$，$\angle PBD=45^\circ+\frac{\beta}{2}$。
