Question

设函数f(x)=x²+(lga+2)x+lgb，g(x)=2x+2，若f(－1)=0，且对一切实数x，不等式f(x)≥g(x)恒成立；
（Ⅰ）（本问5分）求实数a、b的值；
（Ⅱ）（本问7分）设F(x)=f(x)－g(x)，数列{a_n}满足关系a_n=F(n)，
证明：

Answer 1

（I）a=100，b=1000；
（II）证明见解析

（I）依题意，f(－1)=0即lgb=lga+1，又f(x)－g(x)≥0恒成立，
∴x²+xlga+lgb－2≥0恒成立，∴△=(lga)²－4(lgb－2)≤0，
消去b得(lga－2)²≤0，∴lga=2，且lgb=3，∴a=100，b=1000；
（II）由F(x)=(x+1)²，∴a_n=(n+1)²  ,∴k(k+1)<a_k<(k+1)(k+2)，
故
令k=1、2……、n，并将所得到的n个不等式相加，
可得，
，不等式两端除以n，命题即证.