Question

16．已知A（1，0），曲线C：y=e^ax恒过点B，若P是曲线C上的动点，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$的最小值为2，则a的值为（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可得B（0，1），$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$取得最小时，P，B重合，可得曲线C：y=e^ax在点B（0，1）处的切线与$\overrightarrow{AB}$垂直，即y′|_x=0=1，由此求得a的值

解答 解：因为 e⁰=1所以B（0，1）．
考察$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$的几何意义，因为$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{2}$，
故$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$取得最小时，$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影长应是$\sqrt{2}$，所以P，B重合．
这说明曲线C：y=e^ax在点B（0，1）处的切线与$\overrightarrow{AB}$垂直，
所以y′|_x=0=1，即 a•e⁰=1，∴a=1，
故选：C

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，函数在某一点的导数的几何意义，属于基础题