Question

4．若关于x的函数f（x）=$\frac{{t{x^2}+2x+{t^2}+sinx}}{{{x^2}+t}}$（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为2．

Answer 1

分析 由题意f（x）=t+g（x），其中g（x）=$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+t}$是奇函数，从而2t=4，即可求出实数t的值．

解答 解：由题意，f（x）=$\frac{{t{x^2}+2x+{t^2}+sinx}}{{{x^2}+t}}$=t+$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+t}$，
显然函数g（x）=$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+t}$是奇函数，
∵函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=4，
∴M-t=-（N-t），即2t=M+N=4，
∴t=2，
故答案为：2．

点评 本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．