Question

6．已知等差数列{a_n}．满足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a_n+2log₂b_n=-1．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设d、为等差数列{a_n}的公差，且d＞0，利用数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，求出d，然后求解b_n．
（Ⅱ）写出${T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$利用错位相减法求和即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设d、为等差数列{a_n}的公差，且d＞0
由a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分别加上1，1，3成等比数列，
得（2+d）²=2（4+2d），
d＞0，所以d=2，所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
又因为a_n=-1-2log₂b_n，
所以log₂b_n=-n即b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．…（6分）
（Ⅱ）${T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$…①，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$…②，
①-②，得
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$$-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$．…（10分）
∴${T_n}=1+\frac{{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$…（12分）

点评 本题考查数列求和的基本方法错位相减法的应用，等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．