Question

定义在R上的函数y=f（x）满足：对任意的x，y∈R都有f(x)+f(y)=f(

x2+y2

)成立，f（1）=1，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（-1）的值，并判断y=f（x）的奇偶性；
（2）证明：y=f（x）在（0，+∞）上的单调递增；
（3）若关于x的方程2f(x)=f(

a(x-1)

x+1

)在（2，+∞）上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据恒等式，赋值x=y=0，即可求得f（0），再赋值x=-1，y=0，即可求得f（-1），再赋值y=0，即可判断出函数的奇偶性；
（2）设0＜x₁＜x₂，对恒等式赋值，构造出f（x₂）-f（x₁），利用已知条件和函数单调性的定义即可确定函数的单调性；
（3）利用恒等式，将方程转化为f(

2x2

)=f(

a(x-1)

x+1

)，再根据函数为偶函数，则有|

2

x|=|

a(x-1)

x+1

|在（2，+∞）上有两个不同的实根，参变量分离后变为|a|=

2 x(x+1)

x-1

在（2，+∞）上有两个不同的实根，在利用换元法和数形结合法，将问题转化为研究函数的值域问题，结合图象即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵对任意的x，y∈R都有f(x)+f(y)=f(

x2+y2

)成立，
∴令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0，
令x=-1，y=0，则f（-1）+f（0）=f（1），即f（-1）=f（1）=1，
令y=0，则f（x）=f（|x|），
∴f（x）是偶函数；
（2）设0＜x₁＜x₂，
令x=x₁，y=

x22-x12

，
∴f（x₁）+f（

x22-x12

）=f（

x12+( x22-x12 )2

）=f（x₂），
∵当x＞0时，f（x）＞0，
∴f(x2)-f(x1)=f(

x 2 2 - x 2 1

)＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（3）由2f(x)=f(

a(x-1)

x+1

)，可得f(

2x2

)=f(

a(x-1)

x+1

)，
∵函数f（x）为偶函数，
∴|

2

x|=|

a(x-1)

x+1

|在（2，+∞）上有两个不同的实根，
∴|a|=

2 x(x+1)

x-1

在（2，+∞）上有两个不同的实根，
令x-1=t，则t∈（1，+∞），
∴问题转化为|a|=

2 (t+1)(t+2)

t

在（1，+∞）上有两个不同的实根，
作出函数g(t)=

2 (t+1)(t+2)

t

=

2

(t+

2

t

+3)在（1，+∞）上的图象，如右图所示，
根据图象可得，|a|∈(4+3

2

，6

2

)，
∴实数a的取值范围为（-6

2

，-4-3

2

）∪（4+3

2

，6

2

）．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，函数的零点．奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．运用了数形结合的数学思想方法．属于中档题．