Question

7．已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为d，且不等式ax²-3x+2＜0的解集为（1，d）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=a_n（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，数列{b_n}前n项和T_n，证明$\frac{1}{2}$≤T_n$＜\frac{10}{9}$．

Answer 1

分析 （1）显然x=1为方程ax²-3x+2=0的一个解，进而可知a=1、d=2，从而可得结论；
（2）通过a_n=2n-1可知b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{2n-1}}$，利用错位相减法可知T_n=$\frac{10}{9}$-$\frac{12n+10}{9}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$，进而可得结论．

解答 （1）解：∵不等式ax²-3x+2＜0的解集为（1，d），
∴a-3+2=0，即a=1，
∴x²-3x+2＜0的解集为（1，2），即d=2，
∴数列{a_n}的通项a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）证明：∵a_n=2n-1，
∴b_n=a_n（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{2n-1}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+5•$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，
$\frac{1}{{2}^{2}}$•T_n=1•$\frac{1}{{2}^{3}}$+3•$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{2n+1}}$，
两式相减得：$\frac{3}{4}$•T_n=$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{{2}^{3}}（1-\frac{1}{{2}^{2n-2}}）}{1-\frac{1}{{2}^{2}}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{5}{6}$-$\frac{1}{3}•\frac{1}{{2}^{2n-2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{5}{6}$-$\frac{6n+5}{6}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{4}{3}$[$\frac{5}{6}$-$\frac{6n+5}{6}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$]=$\frac{10}{9}$-$\frac{12n+10}{9}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∵对任意的正整数n$\frac{12n+10}{9}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$＞0恒成立，
∴T_n$＜\frac{10}{9}$，
又∵T_n≥T₁=b₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤T_n$＜\frac{10}{9}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．