Question

15．已知直线l过点M（1，1），并且与直线2x+4y+9=0平行．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l与圆x²+y²+x-6y+m=0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）先求与直线2x+y-5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，-3），用点斜式求直线方程；
（2）先将直线与圆的方程联立，得到5y²-20y+12+m=0，再由韦达定理分别求得y₁•y₂=$\frac{12+m}{5}$，又因为OP⊥OQ，转化为x₁•x₂+y₁•y₂=0求解．

解答 解：（1）∵直线2x+4y+9=0的斜率k=-$\frac{1}{2}$，
∴所求直线斜率k′=-$\frac{1}{2}$．
故过点（1，1）且与已知直线平行的直线为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即x+2y-3=0．
（2）设P、Q的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由OP⊥OQ可得：$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，即$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0．
由x+2y-3=0得x=3-2y代入x²+y²+x-6y+m=0
化简得：5y²-20y+12+m=0，
∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=$\frac{12+m}{5}$．
∴x₁•x₂+y₁•y₂=（3-2y₁）•（3-2y₂）+y₁•y₂=9-6（y₁+y₂）+5y₁•y₂
=9-6×4+5×$\frac{12+m}{5}$=m-3=0
解得：m=3．

点评 本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，应用了韦达定理，体现了数形结合的思想，是常考题型，属中档题．