Question

20．已知直线l₁：y=2x+3，l₂：y=x+2相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求以点C为圆心，且与直线3x+4y+4=0相切的圆的方程；
（3）若直线x+y+t=0与（2）中的圆C交于A、B两点，求△ABC面积的最大值及实数t的值．

Answer 1

分析 （1）联立直线方程，解方程可得交点C；
（2）运用直线和圆相切的条件：d=r，由圆的标准方程可得所求圆的方程；
（3）方法一、运用三角形的面积公式，结合正弦函数的值域，可得最大值，再由点到直线的距离公式，可得t的值；
方法二、运用弦长公式和基本不等式可得面积的最大值，再由点到直线的距离公式，可得t的值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+3\\ y=x+2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$，∴C（-1，1）；
（2）圆心C（-1，1），
半径$r=\frac{{|{3×（-1）+4×1+4}|}}{5}=1$，
所以圆C的方程为（x+1）²+（y-1）²=1．
（3）方法一：因${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}r•rsin∠ACB=\frac{1}{2}sin∠ACB$，
显然当sin∠ACB=1，即∠ACB=90°时，S_△ABC取到最大值$\frac{1}{2}$，
此时，直角△ABC的斜边AB上的高为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又圆心C到直线x+y+t=0的距离为$\frac{{|{-1+1+t}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}$，
由$\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得t=1或t=-1．
方法二：设圆心C到直线x+y+t=0的距离为d，H为AB的中点，连结CH，
因弦AB的长为$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{{|{CH}|}^2}}=2\sqrt{1-{d^2}}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=d\sqrt{1-{d^2}}$=$\sqrt{{d^2}（1-{d^2}）}≤\frac{{{d^2}+（1-{d^2}）}}{2}=\frac{1}{2}$，
当且仅当d²=（1-d²），即${d^2}=\frac{1}{2}$，$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时取等号，S_△ABC取到最大值$\frac{1}{2}$，
因$h=\frac{{|{-1+1+t}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}$，
由$\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得t=1或t=-1．

点评 本题考查直线和直线的交点的求法，圆的方程的求法，以及直线和圆相切的条件和相交的弦长求法，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．