Question

10．已知函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$+1（m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3．求实数m的值；
（Ⅱ）当m=-1时，判断函数g（x）=f（x）-1+$\frac{lnx}{x}$在其定义域内零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=$\frac{x-m}{{x}^{2}}$，x∈[1，e]．下面对m进行分类讨论：①若m＜1，②若1≤m≤e，③若m＞e，分别讨论函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，列出等式求出m值即可；
（Ⅱ）当m=-1时，求出函数g（x）=f（x）-1+$\frac{lnx}{x}$的定义域，函数的导数，求出函数的最值与0比较，运用零点存在定理判断在其定义域内的零点的个数即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{x-m}{{x}^{2}}$，x∈[1，e]．
①若m＜1，则x-m＞0，即f′（x）＞0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上是增函数．
所以[f（x）]_min=f（1）=2+m=3，解得m=1（舍去）．
②若1≤m≤e，令f′（x）=0，得x=m．
当1＜x＜m时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，m）上是减函数，
当m＜x＜e时，f′（x）＞0，所以f（x）在（m，e）上是增函数．
所以[f（x）]_min=f（m）=ln（m）+2=3，解得m=e．
③若m＞e，则x-m＜0，即f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上是减函数．
所以[f（x）]_min=f（e）=2+$\frac{m}{e}$=3，所以m=e（舍去）．
综上所述，m=e．
（Ⅱ）当m=-1时，函数g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{x}$，
g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{2+x-lnx}{{x}^{2}}$，
令φ（x）=2+x-lnx，（x＞0），
则φ′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
所以x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
所以，φ（x）_min=φ（1）=3＞0，在定义域内g′（x）＞0，
即有g（x）在（0，+∞）单调递增，
又g（1）=-1＜0，而g（e）=1-$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{e}$＞0，
因此，函数g（x）在（1，e）上必有零点，
又g（x）在（0，+∞）单调递增，
所以函数g（x）=f（x）-1+$\frac{lnx}{x}$在其定义域内有唯一的零点．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、函数的零点个数，利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．