Question

5．若动点P在直线l₁：x-y-2=0上，动点Q在直线l₂：x-y-6=0上，设线段PQ的中点M（a，b），满足a²+b²-4a+4b≤0，则a²+b²的取值范围是（　　）

• A． [2$\sqrt{2}$，4]
• B． [2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$]
• C． [8，12]
• D． [8，16]

Answer 1

分析 由题意求出M所在的直线方程与圆及内部的公共部分，M是一条线段，画出图形，通过a²+b²的几何意义，求出它的范围即可．

解答 解：因为动点P在直线l₁：x-y-2=0上，
动点Q在直线l₂：x-y-6=0上，
设线段PQ的中点为M（a，b），
所以M在直线x-y-4=0，
满足a²+b²-4a+4b≤0，即为（a-2）²+（b+2）²≤8，
所以M的轨迹是直线x-y-4=0与圆及内部的公共部分，M是一条线段，
如图：a²+b²的几何意义是坐标原点到线段x-y-4=0（0≤x≤4）
的点的距离的平方，因为圆的图形过原点，
所以由d=$\frac{|4|}{\sqrt{1+1}}$=2$\sqrt{2}$，
可得a²+b²的最小值为：8，
由（0，0）和（0，-4）的距离为4，
可得a²+b²的最大值为：16，
故a²+b²的取值范围是[8，16]．
故选D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，M表示的线段以及表达式的几何意义是解题的关键，考查转化思想计算能力．