Question

15．已知f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ（m，n∈N）的展开式中的x系数为19．
（1）求f（x）展开式中x²项系数的最小值；
（2）当x²项系数最小时，求f（x）展开式中x⁷项的系数．

Answer 1

分析 （1）由题意可得m+n=19，求得x²的系数为C_m²+C_n²=$\frac{m（m-1）+n（n-1）}{2}$=n²-19n+171，再利用二次函数的性质求得x²项的系数的最小值．
（2）有题意可得x⁷项的系数为C₁₀⁷+C₉⁷，计算可得结果．

解答 解：（1）由已知展开式中的x系数为C_m¹+C_n¹=19，即m+n=19，
∴x²的系数为C_m²+C_n²=$\frac{m（m-1）+n（n-1）}{2}$=$\frac{（19-n）（19-n-1）+n（n-1）}{2}$=n²-19n+171，
∴当n=9，m=10或n=10，m=9时，x²项的系数是最小，且最小值为81．
（2）x⁷项的系数为C₁₀⁷+C₉⁷=156．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．