Question

10．设f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）解不等式f（x）≥2；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）化简函数的解析式，利用单调性求函数的最小值．

解答 解：（1）由不等式f（x）≥2，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-x-5≥2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x＜4}\\{3x-3≥2}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥4}\\{x+5≥2}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-7，解②求得 $\frac{5}{3}$≤x＜4，解③求得x≥4．
综上可得不等式的解集为{x|x≤-7，或x≥$\frac{5}{3}$}．
（2）由于函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-5，x＜-\frac{1}{2}}\\{3x-3，-\frac{1}{2}≤x＜4}\\{x+5，x≥4}\end{array}\right.$，故它的最小值为f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值；绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．