Question

19．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$b=\sqrt{3}a$．
（1）当$C=\frac{π}{6}$，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$时，求a的值；
（2）当$cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，求sin（ B-A）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知结合三角形面积公式即可求得a的值．
（2）由已知及余弦定理可得c=$\sqrt{2}a$，可得b²=a²+c²，由勾股定理可得B=90°，cosA=$\frac{c}{b}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，利用诱导公式即可求得sin（ B-A）的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵$b=\sqrt{3}a$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}=\sqrt{3}$，
∴解得：a=2…4分
（2）∵$b=\sqrt{3}a$，$cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{2}a$，
∴b²=a²+c²，可得B=90°，
∴cosA=$\frac{c}{b}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sin（ B-A）=sin（90°-A）=cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$…10分

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，勾股定理，诱导公式的应用，属于基本知识的考查．