Question

11．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3≤0}\\{x-y+1≥0}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，则z=2x+y的取值范围是[-5，11]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即B（6，-1），
代入目标函数z=2x+y得z=2×6-1=11．
即目标函数z=2x+y的最大值为11．
当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即A（-2，-1），
代入目标函数z=2x+y得z=2×（-2）-1=-5．
即目标函数z=2x+y的最小值为-5．
目标函数z=2x+y的取值范围是[-5，11]，
故答案为：[-5，11]

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．