Question

2．S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₅=10，S₆=15，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{1}{{（{a_n}+1）（{a_n}+2）}}$，求数列{b_n}的前10项和．

Answer 1

分析 （1）通过记数列{a_n}的公差为d，利用求和公式可知S₅=5（a₁+2d）=10即a₃=2，利用S₆-S₅可知a₆=5，进而可知公差和首项，计算即得结论；
（2）通过裂项可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：（1）记数列{a_n}的公差为d，
∵S₅=5a₁+$\frac{5×（5-1）}{2}$d=5（a₁+2d）=10，
∴a₃=a₁+2d=2，
又∵S₆=15，
∴a₆=S₆-S₅=15-10=5，
∴d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{3}$=$\frac{5-2}{3}$=1，
∴a₁=a₃-2d=2-2=0，
∴数列{a_n}的通项a_n=a₁+（n-1）d=n-1；
（2）∵a_n=n-1，
∴b_n=$\frac{1}{{（{a_n}+1）（{a_n}+2）}}$=$\frac{1}{（n-1+1）（n-1+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前10项和为：1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于基础题．