Question

17．已知平面内n（n∈N⁺）条直线，任意两条都相交，任意三条不共点，这n条直线将平面分割成a_n个区域，则a_n=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$．

Answer 1

分析 因为第n（n≥2）条直线与前n-1条直线都相交且不共点，则它被前n-1条直线分割成n段，每一段将它所在的原区域一分为二，即在原区域数上增加了n个，故a_n=a_n-1+n（n≥2），利用累加法可得答案．

解答 解：∵a₁=2，a₂=4，a₃=7，a₄=11，
注意到a_n=a_n-1+n（n≥2），
因为第n（n≥2）条直线与前n-1条直线都相交且不共点，
则它被前n-1条直线分割成n段，
每一段将它所在的原区域一分为二，
即在原区域数上增加了n个，
故a_n=a_n-1+n（n≥2）；
则a₂=a₁+2，
a₃=a₂+3，
a₄=a₃+4，
…
a_n=a_n-1+n
将这n-1个式子累加得：a_n=a₁+2+3+…+n=1+$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$．
故答案为：$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$

点评 本题考查的知识点是合情推理--归纳推理，其中根据已知分析出a_n满足：a_n=a_n-1+n（n≥2），是解答的关键．