Question

7．若关于x的方程kx+1=lnx有两个不同实数解，则实数k的取值范围是（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）．

Answer 1

分析 作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象，利用数形结合的思想求解即可．

解答 解：令f（x）=kx+1，g（x）=lnx，
作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象如下，

设直线f（x）=kx+1与g（x）=lnx相切于点（a，b）；
则$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{a}}\\{b=lna}\\{b=ka+1}\end{array}\right.$，
解得，k=$\frac{1}{{e}^{2}}$；
且对数函数g（x）=lnx的增长速度越来越慢，
结合函数图象可知，k＞0；
故实数k的取值范围是（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）．
故答案为：（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）．

点评 本题考查了导数的几何意义的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．