Question

18．设函数f（x）=|2x+1|，g（x）=2|x|+a+2
（1）解不等式f（x）＜2
（2）若存在实数x，使得f（x）≤g（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＜2，即|2x+1|＜2，由此求得不等式的解集．
（2）由题意可得存在实数x，使得|x+$\frac{1}{2}$|-|x|≤1+$\frac{a}{2}$ 成立，再根据绝对值的意义可得|x+$\frac{1}{2}$|-|x|的最小值为-$\frac{1}{2}$，故有-$\frac{1}{2}$≤1+$\frac{a}{2}$，由此求得a的范围．

解答 解：（1）不等式f（x）＜2，即|2x+1|＜2，即-2＜2x+1＜2，
求得-$\frac{3}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，故不等式的解集为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（2）由题意可得f（x）≤g（x），即|x+$\frac{1}{2}$|-|x|≤1+$\frac{a}{2}$，
而|x+$\frac{1}{2}$|-|x|表示数轴上的x对应点到-$\frac{1}{2}$对应点的距离减去它到原点的距离，它的最小值为-$\frac{1}{2}$，
再根据存在实数x，使得f（x）≤g（x），故有-$\frac{1}{2}$≤1+$\frac{a}{2}$，求得 a≥-3．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．