Question

6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{log_3}x|，0＜x≤3\\{（x-4）^2}，x＞3\end{array}\right.$，若方程f（x）=m有四个不同的实数根，由小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄，则4x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围是[12，13）．

Answer 1

分析 作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{log_3}x|，0＜x≤3\\{（x-4）^2}，x＞3\end{array}\right.$的图象，从而可得x₁x₂=1，x₃+x₄=8；从而由基本不等式确定的取值范围．

解答 解：作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{log_3}x|，0＜x≤3\\{（x-4）^2}，x＞3\end{array}\right.$的图象如下，

由题意知，
x₁x₂=1，x₃+x₄=8；
4x₁+x₂≥2$\sqrt{4}$=4，
（当且仅当4x₁=x₂，即4x₁=x₂=2时，等号成立）；
故4x₁+x₂+x₃+x₄≥12，
且4x₁+x₂+x₃+x₄＜13；
故答案为：[12，13）．

点评 本题考查了分段函数的应用及基本不等式的应用，属于中档题．