Question

1．（1）设实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}|{x+y-6}|≤2\\ y≤2x+4≤4y+4\end{array}\right.$，作出不等式组表示的平面区域，并求当a＞0时，z=y-ax的最大值；
（2）若关于x的不等式组$0≤{x^2}+\frac{7}{9}x-\frac{2^n}{{{{（{{2^n}+1}）}^2}}}≤\frac{2}{9}$对任意n∈N^*恒成立，求所有这样的解x构成的集合．

Answer 1

分析 （1）作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．
（2）将$\frac{{2}^{n}}{{（{2}^{n}+1）}^{2}}$的分子分母同除2ⁿ，结合“对勾函数“的单调性，求出$\frac{{2}^{n}}{{（{2}^{n}+1）}^{2}}$=$\frac{1}{（{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}）+2}$∈（0，$\frac{2}{9}$]，进而将恒成立问题转化为最值问题后，可得${x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}=0$，解方程可得答案．

解答 解：（1）不等式组等价为$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6≥-2}\\{x+y-6≤2}\\{y≤2x+4}\\{2x+4≤4y+4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≥0}\\{x+y-8≤0}\\{y≤2x+4}\\{x≤2y}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域，
由z=y-ax得y=ax+z，直线与y轴交点的纵坐标为z，
平移直线y=ax+z，
由图象可知在点B（0，2）处，z_max=2，
当0＜a≤2时，在点B处，直线y=ax+z的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-8=0}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{4}{3}$，$\frac{20}{3}$），
z_min=$\frac{20}{3}$-$\frac{4}{3}$a．
当a＞2时，在点A（0，4）处，直线y=ax+z的截距最大，此时z最大，
z_max=4．
（2）若$0≤{x^2}+\frac{7}{9}x-\frac{2^n}{{{{（{2^n}+1）}^2}}}＜\frac{2}{9}$对任意n∈N^*恒成立，
即$\frac{{2}^{n}}{{（{2}^{n}+1）}^{2}}-\frac{2}{9}≤{x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}＜\frac{{2}^{n}}{{（{2}^{n}+1）}^{2}}$对任意n∈N^*恒成立，
∵$\frac{{2}^{n}}{{（{2}^{n}+1）}^{2}}$=$\frac{1}{（{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}）+2}$∈（0，$\frac{2}{9}$]
故$0≤{x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}≤0$
即${x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}=0$
解得x=-1或x=$\frac{2}{9}$
故所有这样的解x的集合是$\{-1，\frac{2}{9}\}$．

点评 本题主要考查线性规划以及不等式恒成立问题，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．