Question

16．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+t}\end{array}\right.$（t为参数），在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴），曲线C₁的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C₁的位置关系；
（Ⅱ）已知曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），且M，N分别为曲线C₂的上下顶点，点P为曲线C₁上任意一点，试判断|PM|²+|PN|²是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去t可得直角坐标方程，由曲线C₁的极坐标方程为ρ=2，即ρ²=4．可得曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=4，圆心为C₁，r，求出圆心C₁到直线l的距离为d与半径比较即可得出．
（Ⅱ）由曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），可得曲线C₂的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得曲线C₂的上下顶点M，N．由曲线C₁，可得其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，利用两点之间的距离公式可得|PM|²+|PN|²，即可证明．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+t}\end{array}\right.$（t为参数），可得直角坐标方程为2x-y+2$\sqrt{5}$=0，
又∵曲线C₁的极坐标方程为ρ=2，即ρ²=4．
∴曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=4，圆心为C₁（0，0），r=2，
∴圆心C₁到直线l的距离为d=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2=r，
∴直线l与曲线C₁相切．
（Ⅱ）∵曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C₂的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
又∵M，N分别为曲线C₂的上下顶点，
∴M$（0，\sqrt{3}）$，N$（0，-\sqrt{3}）$，）
由曲线C₁，可得其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（2cosα，2sinα），
因此|PM|²+|PN|²=$（2cosα）^{2}+（2sinα-\sqrt{3}）^{2}$+（2cosα）²+$（2sinα+\sqrt{3}）^{2}$=7-4$\sqrt{3}$sinα+7+$4\sqrt{3}sinα$=14为定值．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式、直线与圆的位置关系、椭圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．