Question

4．函数f（x）=ax³+x²+x有极值的充要条件是a＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 若a≠0，三次函数f（x）=ax³+x²+x有极值，f′（x）=0有不相等的两个解，利用判别式即可求得结论，若a=0，函数为二次函数可知有极值．

解答 解：求得导函数f′（x）=3ax²+2x+1，
若a≠0，三次函数f（x）有极值，则f′（x）=0有不相等的两个解，
∴△=4-12a＞0，∴a＜$\frac{1}{3}$，
若a=0，导函数f′（x）=3ax²+2x+1=2x+1
令f′（x）＞0，则x＞-$\frac{1}{2}$；令f′（x）＜0，则x＜-$\frac{1}{2}$；
∴函数在x=-$\frac{1}{2}$处取得极小值．
综上得，a＜$\frac{1}{3}$
故答案为：a＜$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了函数的导数与极值的关系，以及充要条件的判断，属于中档题．