Question

13．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=$\sqrt{3}$x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程，利用cos²t+sin²t=1进而得出参数方程．
（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=$\sqrt{3}$x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．

解答 解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，即ρ²=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x-1）²+y²=1（0≤y≤1）．
可得C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t为参数，0≤t≤π）．
（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=$\sqrt{3}$，t=$\frac{π}{3}$．
故D的直角坐标为$（1+cos\frac{π}{3}，sin\frac{π}{3}）$，即（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．