Question

16．执行某个程序，电脑会随机地按如下要求给图中六个小圆涂色．
①有五种给定的颜色供选用；
②每个小圆涂一种颜色，且图中被同一条线段相连两个小圆不能涂相同的颜色．
若电脑完成每种涂色方案的可能形相同，则执行一次程序后，图中刚好有四种不同的颜色的概率是（　　）

• A． $\frac{9}{16}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{18}{25}$
• D． $\frac{12}{25}$

Answer 1

分析 分别讨论满足条件的涂色的总数，以及刚好有四种不同的颜色的数目，利用概率公式进行求解即可．

解答 解：分两步来进行，先涂A、B、C，再涂D、E、F．
①若5种颜色都用上，先涂A、B、C，方法有${A}_{5}^{3}$种；再涂D、E、F中的两个点，方法有${A}_{3}^{2}$种，
最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有${A}_{5}^{3}$•${A}_{3}^{2}$•2=720种．
②若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有${C}_{5}^{4}$种；
先涂A、B、C，方法有${A}_{4}^{3}$种；再涂D、E、F中的1个点，方法有3种，
最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有${C}_{5}^{4}$•${A}_{4}^{3}$•3•3=1080种．
③若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有${C}_{5}^{3}$种；
先涂A、B、C，方法有${A}_{3}^{3}$种；再涂D、E、F，方法有2种，
故此时方法共有 ${C}_{5}^{3}$•${A}_{3}^{3}$•2=120 种．
综上可得，不同涂色方案共有 720+1080+120=1920 种，
则图中刚好有四种不同的颜色的概率是$\frac{1080}{1920}$=$\frac{9}{16}$．
故选：A

点评 本题主要考查古典概型的概率的计算，利用排列组合的基础知识与分类讨论思想是解决本题的关键．难度较大．