Question

1．给出下列四个命题：
（1）对于任意的n＞4，n∈Z，2ⁿ＞n²
（2）对于任意实数a，b，总有2（a²+b²）≥（a+b）²
（3）$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$
（4）平面内的4条直线，最多将平面分割成11部分．
这四个命题中，真命题的序号为（1）、（2）、（3）、（4）．

Answer 1

分析 （1）n＞4，且n∈Z时，2ⁿ＞n²恒成立；
（2）由基本不等式得出a²+b²≥2ab，从而得2（a²+b²）≥（a+b）²成立；
（3）用分析法证明$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$成立；
（4）画图表示平面内的4条直线，最多将平面分割成11部分．

解答 解：对于（1），任意的n＞4，n∈Z，都有2ⁿ＞n²，
∴命题（1）正确；
对于（2），任意实数a，b，总有a²+b²≥2ab，
∴2（a²+b²）≥a²+b²+2ab=（a+b）²，
∴命题（2）正确；
对于（3），若$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$，则3+7+2$\sqrt{3×7}$＜${（2\sqrt{5}）}^{2}$，
即$\sqrt{21}$＜5，
∴21＜25，
∴命题（3）成立；
对于（4），平面内的4条直线，最多将平面分割成11部分，如图所示；

∴命题（4）正确．
综上，以上正确的命题是（1）、（2）、（3）、（4）．
故答案为：（1）、（2）、（3）、（4）．

点评 本题考查了指数函数与幂函数的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，考查了不等式的证明与应用问题，考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．