Question

11．下列说法中
①若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，则点O是△ABC的重心
②若点O满足：${|{\overrightarrow{OA}}|^2}+{|{\overrightarrow{BC}}|^2}={|{\overrightarrow{OB}}|^2}+{|{\overrightarrow{CA}}|^2}={|{\overrightarrow{OC}}|^2}+{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$，则点O是△ABC的垂心．
③若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}）（λ∈R）$，点P的轨迹一定过△ABC的内心．
④若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|sinB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|sinC}}）（λ∈R）$，点P的轨迹一定过△ABC的重心．
⑤若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}）（λ∈R）$，点P的轨迹一定过△ABC的外心．
其中正确的是①②③④．

Answer 1

分析 ①若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，由于$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OD}$=$-\overrightarrow{OA}$，即可判断出正误；
②设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$．由已知可得：${\overrightarrow{a}}^{2}$+$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$+$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）^{2}$=${\overrightarrow{c}}^{2}+（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）^{2}$，化为$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，利用向量垂直与数量积的关系即可判断出正误．
③由已知化为$\overrightarrow{AP}$=λ$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）$，可知点P一定在∠BAC的平分线上，即可判断出正误．
④由已知可得：$\overrightarrow{AP}$=λ$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}）$，设D为边BC的中点，根据正弦定理：$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}=\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}$，因此$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$共线，而$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AD}$共线，即可判断出正误．
⑤由已知可得：$\overrightarrow{AP}$=λ$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$，$\overrightarrow{BC}$•$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$=$-|\overrightarrow{BC}|$+$|\overrightarrow{BC}|$=0，可得$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，即可判断出正误．

解答 解：①若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OD}$=$-\overrightarrow{OA}$，∴A，O，D三点共线，且||OA=2|OD|，∴点O是三角形ABC的重心，正确；
②设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$．∵点O满足：${|{\overrightarrow{OA}}|^2}+{|{\overrightarrow{BC}}|^2}={|{\overrightarrow{OB}}|^2}+{|{\overrightarrow{CA}}|^2}={|{\overrightarrow{OC}}|^2}+{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$+$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）^{2}$=${\overrightarrow{c}}^{2}+（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）^{2}$，化为$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{OC}⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{OB}⊥\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{BC}$，则点O是△ABC的垂心，正确．则点O是△ABC的垂心．
③若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}）（λ∈R）$，∴$\overrightarrow{AP}$=λ$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）$，因此点P一定在∠BAC的平分线上，∴点P的轨迹一定过△ABC的内心，正确．
④若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|sinB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|sinC}}）（λ∈R）$，∴$\overrightarrow{AP}$=λ$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}）$，设D为边BC的中点，根据正弦定理：$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}=\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}$，即$|\overrightarrow{AB}|sinB$=$|\overrightarrow{AC}|sinC$，∴$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$共线，而$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AD}$共线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．
⑤若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}）（λ∈R）$，∴$\overrightarrow{AP}$=λ$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$，∵$\overrightarrow{BC}$•$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$=$-|\overrightarrow{BC}|$+$|\overrightarrow{BC}|$=0，
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，因此点P的轨迹一定过△ABC的垂心，故不正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题综合考查了向量的运算性质、数量积运算性质、三角形的重心垂心内心外心等判定定理与性质定理、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．