Question

1．已知F₁，F₂分别为椭圆C₁：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1的上、下焦点，F₁是抛物线C₁：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₁|=$\frac{5}{3}$
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=k（x+t），kt≠0交椭圆C₁于A，B，若椭圆C₁上一点P满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OP}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；
（2）根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径，可得k=$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点P满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OP}$，可得到λ²的表达式，进而求出实数λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题知F₁（0，1），所以a²-b²=1，
又由抛物线定义可知MF₁=y_M+1=$\frac{5}{3}$，得y_M=$\frac{2}{3}$，
于是易知M（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$），从而MF₁=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}+1）^{2}}$=$\frac{7}{3}$，
由椭圆定义知2a=MF₁+MF₂=4，得a=2，故b²=3，
从而椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；                  
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），则由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OP}$知，
x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，①
又直线l：y=k（x+t），kt≠0与圆x²+（y+1）²=1相切，所以有$\frac{|kt+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
由k≠0，可得k=$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$（t≠±1，t≠0）②
又联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+t）}\\{4{x}^{2}+3{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y得（4+3k²）x²+6k²tx+3k²t²-12=0，
且△＞0恒成立，且x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}t}{4+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}{t}^{2}-12}{4+3{k}^{2}}$，
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2kt=$\frac{8kt}{4+3{k}^{2}}$，所以得P（$\frac{-6{k}^{2}t}{λ（4+3{k}^{2}）}$，$\frac{8kt}{λ（4+3{k}^{2}）}$），
代入①式得$\frac{12{k}^{4}{t}^{2}}{（4+3{k}^{2}）^{2}{λ}^{2}}$+$\frac{16{k}^{2}{t}^{2}}{{λ}^{2}（4+3{k}^{2}）^{2}}$=1，所以λ²=$\frac{4{k}^{2}{t}^{2}}{4+3{k}^{2}}$，
又将②式代入得，λ²=$\frac{4}{（\frac{1}{{t}^{2}}）^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}+1}$，t≠0，t≠±1，
易知（$\frac{1}{{t}^{2}}$）²+$\frac{1}{{t}^{2}}$+1＞1，且（$\frac{1}{{t}^{2}}$）²+$\frac{1}{{t}^{2}}$+1≠3，
所以λ²∈（0，$\frac{4}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，4），
所以λ的取值范围为{λ|-2＜λ＜2且λ≠0，且λ≠±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$}．

点评 熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数的关系是解题的关键．本题需要较强的计算能力，注意分类讨论的思想方法应用．