Question

6．命题p：函数f（x）=lg（ax²-2ax+1）的定义域为R，命题q：不等式$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx+$\frac{1}{4}$cosx-a≥0的解集为∅，若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出使命题p和命题q成立的实数a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假，得到p真q假和p假q真两种情况，求出每种情况下的a的取值范围并求并集即可得到答案．

解答 解：∵函数f（x）=lg（ax²-2ax+1）的定义域为R
∴ax²-2ax+1＞0恒成立…（2分）
∴a=0或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△＜0\end{array}\right.$ …（4分）
解得0≤a＜1   …（5分）
又∵不等式$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx+$\frac{1}{4}$cosx-a=$\frac{1}{2}$sin（x+$\frac{π}{6}$）-a≥0的解集为∅，
∴a＞$\frac{1}{2}$ …（8分）
若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题
则p，q一真一假，
所以0≤a≤$\frac{1}{2}$或a≥1…（13分）

点评 考查对数函数的图象和性质，一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，正弦型函数的图象和性质，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．