Question

11．已知x²=a²+b²，y²=c²+d²，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd．

Answer 1

分析 将x=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，y=$\sqrt{{c}^{2}{+d}^{2}}$代入不等式展开，根据基本不等式的性质证明即可．

解答 证明：∵x²=a²+b²，y²=c²+d²，且所有字母均为正，
∴xy=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$•$\sqrt{{c}^{2}{+d}^{2}}$
=$\sqrt{{{a}^{2}c}^{2}{{+b}^{2}c}^{2}{{+a}^{2}d}^{2}{{+b}^{2}d}^{2}}$
≥$\sqrt{{{a}^{2}c}^{2}+2abcd{{+b}^{2}d}^{2}}$
=$\sqrt{{（ac+bd）}^{2}}$
=ac+bd．

点评 本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．