Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积为（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的数量积求出模长，即可计算△ABC的面积．

解答 解：根据题意，画出图形，如图所示，
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|得，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{|\overrightarrow{a}|}^{2}{+|\overrightarrow{b}|}^{2}}$=2；
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量数量积的应用问题，也考查了求三角形的面积问题，是基础题目．