Question

10．已知函数f（x）=|x+a-2|
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞2；
（2）若对任意x∈R，不等式f（x）+|x|＞2a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，不等式f（x）＞2，即|x-1|＞2，由此求得不等式的解集．
（2）由条件利用绝对值三角不等式可得|a-2|＞2a，故a-2＞2a 或a-1＜-2a，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞2，即|x-1|＞2，∴x-1＞2 或x-1＜-2，
求得x＞3或 x＜-1，故不等式的解集为{x|x＞3或 x＜-1}．
（2）由 不等式f（x）+|x|＞2a恒成立，可得|x+a-2|+|x|＞2a恒成立．
∴|（x+a-2）-x|=|a-2|＞2a，∴a-2＞2a 或a-2＜-2a，
求得a＜-2，
故不等式的解集为（-∞，2）．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解集，函数的恒成立问题，属于基础题．