Question

20．已知圆C：（x-1）²+y²=1，直线l：x+2y-5=0，点P（x₀，y₀）在直线l上，若存在圆C上的两点M，N，使得∠MPN=60°，则x₀的取值范围是（　　）

• A． [1，2]
• B． $[{1，\frac{13}{5}}]$
• C． $[{\frac{1}{2}，2}]$
• D． $[{\frac{1}{2}，\frac{13}{5}}]$

Answer 1

分析 从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为PE，PF，则∠EPF为60°时，∠ECF为120°，所以CP的长度为2，故可确定点P的横坐标x₀的取值范围．

解答 解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，
不妨设切线为PE，PF，则∠EPF为60°时，∠ECF为120°，
∴在Rt△PEC中，PC=2．
故问题转化为在直线x+2y-5=0上找到一点，使它到点C的距离为2．
设P（x₀，2.5-0.5x₀），
∵C（1，0），
∴|PC|²=（x₀-1）²+（2.5-0.5x₀）²=4
∴x₀=1或$\frac{13}{5}$．
∴点P的横坐标x₀的取值范围是[1，$\frac{13}{5}$]
故选：B．

点评 本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角．