Question

8．已知直线l的方程为：（2+m）x+（1-2m）y+（4-3m）=0．
（1）求证：不论m为何值，直线必过定点M；
（2）过点M引直线l₁，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）原方程整理得：（x-2y-3）m+2x+y+4=0．由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，可得直线必过定点M；
（2）表示出面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 （1）证明：原方程整理得：（x-2y-3）m+2x+y+4=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴不论m为何值，直线必过定点M（-1，-2）
（2）解：设直线l₁的方程为．y=k（x+1）-2（k＜0）．
令$y=0，x=\frac{k-2}{-k}，令x=0，y=k-2$．
∴${S_△}=\frac{1}{2}|\frac{k-2}{-k}||k-2|=\frac{1}{2}[（-k）+\frac{4}{-k}+4]≥\frac{1}{2}（4+4）=4$．
当且仅当$-k=\frac{4}{-k}$，即k=-2时，三角形面积最小．
则l₁的方程为2x+y+4=0．

点评 本题考查直线过定点，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．