Question

18．已知函数f（x）=x²-（a+1）x+a，g（x）=-（a+4）x-4+a，a∈R
（1）x∈R，比较f（x）与g（x）的大小；
（2）当x∈（0，+∞）时，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）-g（x）的解析式，利用二次函数的性质可得它大于零，从而得到f（x）＞g（x）．
（2）不等式即 （x-a）（x-1）＞0，再再结合x∈（0，+∞），分类讨论，求得它的解集．

解答 解：（1）由于f（x）-g（x）=x²-（a+1）x+（a+4）x+4-a=x² +3x+4=${（x+\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{7}{4}$＞0，
∴f（x）＞g（x）．
（2）不等式f（x）＞0，即 x²-（a+1）x+a＞0，即 （x-a）（x-1）＞0．
再结合x∈（0，+∞），
当a＜1 时，不等式的解集为{x|0＜x＜a，或x＞1}；
a=1 时，不等式的解集为{x|x≠1，且x＞0 }；
a＞1时，不等式的解集为{x|0＜x＜1，或x＞a}．

点评 本题主要考查二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．