Question

6．将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应序号为1，2，…，8，若同颜色的球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法种数为（　　）

• A． 31
• B． 27
• C． 54
• D． 62

Answer 1

分析 根据题意，假设有8个位置来安排8个球，其序号分别为1、2、3、…8，在8个位置中取出4个，安排红球，剩余的安排蓝球，由组合数公式计算可得红球与蓝球的安排方法数目，在所有的安排方法中，有3种情况：（1）红球对应序号之和等于蓝球对应序号之和的排列方法数目，（2）红球对应序号之和小于蓝球对应序号之和的排列方法数目，（3）红球对应序号之和大于蓝球对应序号之和的排列方法数目，而红球对应序号之和小于蓝球对应序号之和的排列方法数目与红球对应序号之和大于蓝球对应序号之和的排列方法数目相等，只需用列举求出（1）红球对应序号之和等于蓝球对应序号之和的排列方法数目，由三者的关系计算可得答案．

解答 解：根据题意，假设有8个位置来安排8个球，其序号分别为1、2、3、…8，
在8个位置中取出4个，安排红球，剩余的安排蓝球，有C₈⁴=70种方法，
其中4个红球对应序号之和等于4个蓝球对应序号之和的排法有：
①、红球占3、4、5、6四个位置，蓝球占剩余的四个位置，
②、红球占1、2、7、8四个位置，蓝球占剩余的四个位置，
③、红球占1、3、6、8四个位置，蓝球占剩余的四个位置，
④、红球占2、4、5、7四个位置，蓝球占剩余的四个位置，
⑤、红球占1、4、5、8四个位置，蓝球占剩余的四个位置，
⑥、红球占2、3、6、7四个位置，蓝球占剩余的四个位置，
⑦、红球占2、3、5、8四个位置，蓝球占剩余的四个位置，
⑧、红球占1、4、6、7四个位置，蓝球占剩余的四个位置，
共8种情况，
在剩余的62种情况中，红球对应序号之和小于蓝球对应序号之和的排列方法数目与红球对应序号之和大于蓝球对应序号之和的排列方法数目相等；
则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法种数为62÷2=31种；
故选A．

点评 本题考查排列、组合的应用，注意利用排除法分析，进行分类讨论时，可以按照一定的规则，一定要做到不重不漏．