Question

16．在平面直角坐标系xOy中，过点A（0，1）作斜率为k的直线l，若直线l与以C为圆心的圆x²+y²-4x+3=0有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得向量$\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{CQ}$与向量$\overrightarrow{m}$=（-2，1）共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的斜率存在，设其方程为：y=kx+1，代入圆的方程，得到二次方程，运用判别式大于0，可得k的范围；
（Ⅱ）存在，实数k=-$\frac{1}{2}$，理由：求得向量CP，CQ的坐标，结合向量共线的坐标表示，以及韦达定理，可得k的值．

解答 解：（Ⅰ）直线l的斜率存在，设其方程为：y=kx+1，圆的方程：x²+y²-4x+3=0，
联立并消元得（1+k²）x²+（2k-4）x+4=0，
设两个交点的坐标分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由韦达定理得：x₁+x₂=$\frac{4-2k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，
由直线与圆有两个不同的交点可知△=（2k-4）²-16（1+k²）＞0，
解不等式得-$\frac{4}{3}$＜k＜0．                     
（Ⅱ）存在，实数k=-$\frac{1}{2}$，
理由如下：由（Ⅰ）假设可得$\overrightarrow{CP}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{CQ}$=（x₂-2，y₂），
所以$\overrightarrow{CP}$+$\overrightarrow{CQ}$=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），又$\overrightarrow{m}$=（-2，1），
由向量$\overrightarrow{CP}$+$\overrightarrow{CQ}$与$\overrightarrow{m}$共线可知x₁+x₂-4+2（y₁+y₂）=0，…（※）
而y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2，
代入（※）式化简得（1+2k）（x₁+x₂）=0，
从而得到$\frac{（1+2k）（4-2k）}{1+{k}^{2}}$=0，解得k=-$\frac{1}{2}$或k=2（舍去），
所以存在k=-$\frac{1}{2}$满足题意．

点评 本题考查直线和圆的位置关系：相交，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．