Question

16．已知命题p：实数m满足m²+12a²＜7am（a＞0），命题q：实数m满足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{y^2}{3-m}$=1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 根据命题p、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于m的不等式组，解不等式组即可．

解答 解：由m²-7am+12a²＜0（a＞0），则3a＜m＜4a
即命题p：3a＜m＜4a，
实数m满足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{y^2}{3-m}$=1表示的焦点在y轴上的椭圆，
则$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{3-m＞0}\\{m-1＜3-m}\end{array}\right.$，
，解得1＜m＜2，
若p是q的充分不必要条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤2}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}$，
故答案为[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q的等价条件是解决本题的关键．