Question

1．已知函数f（x）=x³+ax²-a²x，（a＞0）
（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）已知方程f（x）+5=0有三个不相等的实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=2代入函数f（x），求出其表达式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最值；
（Ⅱ）构造函数φ（x）=f（x）+5，通过求导得到函数的极值点，从而得到不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x³+2x²-4x，（a＞0），
f′（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′（x）＞0，解得：$x＜-2或x＞\frac{2}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜$\frac{2}{3}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为$（{-∞，-2}），（{\frac{2}{3}，+∞}）$，单调递减区间$（{-2，\frac{2}{3}}）$，
当x=-2时，函数f（x）的极大值f（-2）=8，
当x=$\frac{2}{3}$时，函数f（x）的极小值$f（{\frac{2}{3}}）=-\frac{40}{27}$；
（Ⅱ）设φ（x）=f（x）+5=x³+ax²-a²x+5，
φ′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a），
∴-a，$\frac{a}{3}$是函数f（x）的极值点，
由题意知：$\left\{{\begin{array}{l}{φ（-a）＞0}\\{φ（\frac{a}{3}）＜0}\end{array}}\right.∴a＞3$，
综上可知，a的取值范围为：a＞3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．