Question

13．已知：如图，设P为椭圆上的任意一点，过点P作椭圆的切线，交准线m于点Z，此时FZ⊥FP，过点P作PZ的垂线交椭圆的长轴于点G，椭圆的离心率为e，求证：FG=e•FP．

Answer 1

分析 过P作准线的垂线，垂足为N，连接NF，证明△NPF∽△FPG，即可证明FG=e•FP．

解答 证明：过P作准线的垂线，垂足为N，
∵FZ⊥FP，
∴P，F，Z，N四点共圆．
连接NF，则∠PNF=∠PZF，
∵PG⊥PZ，
∴∠FPG=∠PZF=∠PNF，
∵PN∥FG，
∴∠NPF=∠PFG，
∴△NPF∽△FPG，
∴$\frac{FG}{FP}=\frac{PF}{PN}$=e，
∴FG=e•FP．

点评 本题考查椭圆的性质，考查三角形相似的证明，正确证明三角形相似是关键．