Question

18．已知圆O：x²+y²=r²（r＞0），与y轴交于M、N两点且M在N的上方．若直线y=2x+$\sqrt{5}$与圆O相切．
（1）求实数r的值；
（2）若动点P满足PM=$\sqrt{3}$PN，求△PMN面积的最大值．
（3）设圆O上相异两点A、B满足直线MA、MB的斜率之积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．试探究直线AB是否经过定点，若经过，请求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到r=1；
（2）设点P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理可得P的轨迹为圆，可得点P到y轴的距离最大值为$\sqrt{3}$，再由三角形的面积公式可得最大值；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，运用直线的斜率公式计算即可得到m的值，进而判断直线AB是否经过定点．

解答 解：（1）∵直线y=2x+$\sqrt{5}$与圆O相切，
∴圆心O（0，0）到直线2x-y+$\sqrt{5}$=0的距离为d=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=1
∴r=1； 
（2）设点P（x，y），点M（0，1），N（0，-1），MN=2；
∵PM=$\sqrt{3}$PN，
∴x²+（y-1）²=3[x²+（y+1）²]，即x²+y²+4y+1=0，
∴点P在圆心为（0，-2），半径为$\sqrt{3}$的圆上，
∴点P到y轴的距离最大值为$\sqrt{3}$，
∴△PMN的面积的最大值为$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．                  
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁²+y₁²=1，x₂²+y₂²=1，
①若直线AB的斜率不存在，则x₁=x₂，y₁=-y₂，则
k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{-{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{1-{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}}$=1
与直线MA、MB的斜率之积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$矛盾；
②设直线AB：y=kx+m，则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$
∴（1+k²）x²+2kmx+m²-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，
则y₁+y₂=$\frac{2m}{{k}^{2}+1}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
∵k_MA•k_MB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{{m}^{2}-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-\frac{2m}{1+{k}^{2}}+1}{\frac{{m}^{2}-1}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
化简得：$\frac{m-1}{m+1}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得m=2+$\sqrt{3}$，
∴直线AB过定点（0，2+$\sqrt{3}$）．
综上：直线AB过定点（0，2+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查直线和圆的位置关系：相切和相交，考查圆的方程的求法和直线方程联立圆的方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，属于中档题．