Question

7．已知函数f（x）=|2x-1|
（1）解关于x的不等式f（x）≥3；
（2）若方程f（x）+|x-2|=ax在[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）关于x的不等式即|2x-1|≥3，由此求得不等式的解集．
（2）f（x）+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{3x-3，x≥2}\\{x+1，1≤x＜2}\end{array}\right.$，分类讨论，分别求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）关于x的不等式f（x）≥3，即|2x-1|≥3，即2x-1≥3 或2x-1≤-3．
求得x≥2 或x≤-1，故要求的不等式的解集为{x|x≥2 或x≤-1 }．
（2）f（x）+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{3x-3，x≥2}\\{x+1，1≤x＜2}\end{array}\right.$，当x≥2时，方程即3x-3=ax，即a=3-$\frac{3}{x}$，$a∈[\frac{3}{2}，3）$．
当1≤x＜2时，方程即 x+1=ax，即 a=1+$\frac{1}{x}$，∴a∈（$\frac{3}{2}$，2]．
综上，a∈[$\frac{3}{2}$，3）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．