Question

17．用合适的方法证明下面两个问题：
（1）设a≥b＞0，求证：2a³-b³≥2ab²-a²b；
（2）设a＞0，b＞0，且a+b=10，求证：$\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$≤8．

Answer 1

分析 （1）直接利用作差法，然后分析证明即可．
（2）运用分析的解题方法，执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件．分析法执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件，从而使问题得证．

解答 证明：2a³-b³-2ab²+a²b=2a（a²-b²）+b（a²-b²）=（a-b）（a+b）（2a+b），
∵a≥b＞0，∴a-b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，
从而：（a-b）（a+b）（2a+b）≥0，
∴2a³-b³≥2ab²-a²b．
（2））∵a＞0，b＞0，且a+b=10，
∴欲证$\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$≤8
只需证（$\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$）²≤64
只需证$\sqrt{1+3a}$•$\sqrt{1+3b}$≤16，
只需证（1+3a）•（1+3b）≤256
只需证ab≤25．
∵10=a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴ab≤25，
∴$\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$≤8．

点评 本题考查不等式的证明，作差法的应用，运用分析的解题方法，执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件（隐含条件、过渡条件等），由欲知确定需知，求需知利用已知，适时采用由结论到条件的分析方法逆向训练，有利于养成双向考虑问题的良好习惯．