Question

5．（1）已知a，b为实数，并且e＜a＜b，其中e是自然对数的底，证明a^b＞b^a．
（2）如果正实数a，b满足a^b=b^a，且a＜1，证明a=b．

Answer 1

分析 （1）先构造函数y=$\frac{lnx}{x}$，求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论；
（2）通过讨论a，b的大小关系，结合函数的单调性，从而证出结论．

解答 证明：（1）当e＜a＜b时，要证a^b＞b^a，
只要证blna＞alnb，即只要证$\frac{lna}{a}$＞$\frac{lnb}{b}$，
考虑函数y=f（x）=$\frac{lnx}{x}$（0＜x＜+∞），
∵x＞e时，y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，
∴函数y=$\frac{lnx}{x}$在（e，+∞）内是减函数，
∵e＜a＜b，∴$\frac{lna}{a}$＞$\frac{lnb}{b}$，
得：a^b＞b^a．
（2）由（1）因为在（0，1）内f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内是增函数．
（反证法）假设a≠b，
由0＜a＜1，b＞0，所以a^b＜1，从而b^a=a^b＜1，
由b^a＜1及a＞0，可推出b＜1，所以a，b∈（0，1），
由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，
则根据f（x）在（0，1）内是增函数，
若a＞b，则$\frac{lna}{a}$＞$\frac{lnb}{b}$，从而a^b＞b^a；
若a＜b，则$\frac{lna}{a}$＜$\frac{lnb}{b}$，从而a^b＜b^a．
即a≠b时，a^b≠b^a，与已知矛盾．因此a=b．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，不等式的证明，是一道中档题．