Question

4．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$+c（a＞0），g（x）=lnx，其中函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}＞ln（n+1）+\frac{n}{2（n+1）}$（n≥1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，构造新函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明一：令$a=\frac{1}{2}$，有$f（x）=\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）$≥lnx且当x＞1时，$\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）$＞lnx．   令$x=\frac{k+1}{k}$，再利用累加法，即可证明；证明二，用数学归纳法证明．

解答 （Ⅰ）解：求导数${f^'}（x）=a-\frac{b}{x^2}$，则有$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=a+b+c=0}\\{f'（1）=a-b=1}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=-1}\end{array}}\right.$，∴f（x）=x-1；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知$f（x）=ax+\frac{a-1}{x}+1-2a$，
令$φ（x）=f（x）-g（x）=ax+\frac{a-1}{x}+1-2a-lnx$，x∈[1，+∞），则$φ（1）=0，{φ^'}（x）=a-\frac{a-1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-x-（{a-1}）}}{x^2}=\frac{{a（{x-1}）（{x-\frac{1-a}{a}}）}}{x^2}$，
（ i）当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，$\frac{1-a}{a}＞1$．
若$1＜x＜\frac{1-a}{a}$，则φ′（x）＜0，φ（x）是减函数，
所以φ（x）＜φ（1）=0，即f（x）＜g（x）．
故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上不恒成立．
（ ii）当$a≥\frac{1}{2}$时，$\frac{1-a}{a}≤1$．
若x＞1，则φ'（x）＞0，φ（x）是增函数，
所以φ（x）＞φ（1）=0，即f（x）＞g（x），故当x≥1时，f（x）≥g（x）．
综上所述，所求a的取值范围为$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知当$a≥\frac{1}{2}$时，有f（x）≥g（x）（x≥1）．
令$a=\frac{1}{2}$，有$f（x）=\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）$≥lnx且当x＞1时，$\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）$＞lnx．   
令$x=\frac{k+1}{k}$，有$ln\frac{k+1}{k}＜\frac{1}{2}（\frac{k+1}{k}-\frac{k}{k+1}）=\frac{1}{2}[{（1+\frac{1}{k}）-（1-\frac{1}{k+1}）}]$
∴$ln（k+1）-lnk＜\frac{1}{2}（{\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}}），k=1，2，3，…，n$，
将上述n个不等式依次相加，得$ln（{n+1}）＜\frac{1}{2}+（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}）+\frac{1}{{2（{n+1}）}}$，
整理得$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}＞ln（{n+1}）+\frac{n}{{2（{n+1}）}}$
解法二：用数学归纳法证明．
 ①当n=1时，左边=1，右边=$ln2+\frac{1}{4}＜1$，不等式成立．
 ②假设当n=k时，不等式成立，就是$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k}＞ln（{k+1}）+\frac{k}{{2（{k+1}）}}$
那么$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}＞ln（{k+1}）+\frac{k}{{2（{k+1}）}}+\frac{1}{k+1}$=$ln（{k+1}）+\frac{k+2}{{2（{k+1}）}}$
由（Ⅱ）知，当$a≥\frac{1}{2}$时，有f（x）≥lnx（x≥1）．
令$a=\frac{1}{2}$，有$f（x）=\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）≥lnx（{x≥1}）$．
令$x=\frac{k+2}{k+1}$，得$\frac{1}{2}（{\frac{k+2}{k+1}-\frac{k+1}{k+2}}）≥ln\frac{k+2}{k+1}=ln（{k+2}）-ln（{k+1}）$．
∴$ln（{k+1}）+\frac{k+2}{{2（{k+1}）}}≥ln（{k+2}）+\frac{k+1}{2（k+2）}$．
∴$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}＞ln（{k+2}）+\frac{k+1}{{2（{k+2}）}}$．
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立
根据 ①和 ②，可知不等式对任何n∈N₊都成立．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．