Question

3．数列{x_n}满足x₁=1，x₂=$\frac{2}{3}$，且$\frac{1}{{x}_{n-1}}$+$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{2}{{x}_{n}}$（n≥2），则x_n等于$\frac{2}{n+1}$．

Answer 1

分析 通过$\frac{1}{{x}_{n-1}}$+$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{2}{{x}_{n}}$（n≥2）可知数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}为等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵$\frac{1}{{x}_{n-1}}$+$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{2}{{x}_{n}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{x}_{n+1}}$-$\frac{1}{{x}_{n}}$=$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n-1}}$，
即数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}为等差数列，
又∵x₁=1，x₂=$\frac{2}{3}$，
∴首项$\frac{1}{{x}_{1}}$=1，
公差d=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{x}_{n}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$+（n-1）d=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，
∴x_n=$\frac{2}{n+1}$，
故答案为：$\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．