Question

14．已知数列{b_n}的前n项和为S_n，满足S_n+1+5S_n-1=6（S_n-b_n-1），n≥2，n∈N^*，且b₁=1，b₂=5，数列{a_n}满足a₁=1，a_n=b_n•$\frac{1}{{n}^{2}（{3}^{n}-{2}^{n}）}$，n∈N^*．
（1）证明：数列{b_n+1-3b_n}是等比数列；
（2）求证：数列{a_n}的前n项和为T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通过对S_n+1+5S_n-1=6（S_n-b_n-1）变形可知b_n+1-3b_n=2（b_n-3b_n-1），进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知b_n+1-3b_n=2ⁿ，变形可得b_n+1+2ⁿ⁺¹=3（b_n+2ⁿ），进而可知数列{b_n+2ⁿ}是首项、公比均为3的等比数列，利用a_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），并项相加即得结论．

解答 证明：（1）∵S_n+1+5S_n-1=6（S_n-b_n-1），n≥2，n∈N^*，
∴S_n+1-S_n=5S_n-5S_n-1-6b_n-1，
即b_n+1=5b_n-6b_n-1，
∴b_n+1-3b_n=2（b_n-3b_n-1），
又∵b₁=1，b₂=5，
∴b₂-3b₁=5-3=2，
∴数列{b_n+1-3b_n}是以首项、公比均为2的等比数列；
（2）由（1）知b_n+1-3b_n=2ⁿ，
∴b_n+1+2ⁿ⁺¹=3（b_n+2ⁿ），
又∵b₁+2¹=1+2=3，
∴数列{b_n+2ⁿ}是首项、公比均为3的等比数列，
∴b_n+2ⁿ=3ⁿ，
∴a_n=b_n•$\frac{1}{{n}^{2}（{3}^{n}-{2}^{n}）}$=（3ⁿ-2ⁿ）•$\frac{1}{{n}^{2}（{3}^{n}-{2}^{n}）}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴a_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），
∴T_n＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=2-$\frac{1}{n}$
＜2．

点评 本题考查等比数列的判定，考查数列的前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．