Question

4．已知函数y=log_a（$\frac{a}{x}$-1）在区间（0，$\frac{2}{5}$]上单调递增，则实数a的取值范围是（$\frac{2}{5}$，1）．

Answer 1

分析 根据题意利用复合函数的单调性可得0＜a＜1，再根据x=$\frac{2}{5}$时，t=$\frac{a}{x}$-1＞0，求得a的范围，再把这两个a的范围取交集，即得所求．

解答 解：由题意可得a＞0，a≠1，函数y=log_a（$\frac{a}{x}$-1）在区间（0，$\frac{2}{5}$]上单调递增，而函数t=$\frac{a}{x}$-1＞0在区间（0，$\frac{2}{5}$]上为减函数，
∴0＜a＜1．
再根据x=$\frac{2}{5}$时，t=$\frac{a}{x}$-1＞0，求得a＞$\frac{2}{5}$．
综上可得，a的范围是（$\frac{2}{5}$，1）
故答案为：（$\frac{2}{5}$，1）．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．