Question

6．曲线y=ln（x-1）上的点到直线x-y+4=0的最短距离是（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设直线x-y+C=0是曲线y=ln（x-1）的切线且与直线x-y+4=0平行，利用导数的几何意义求出切点坐标，再由点到直线的距离公式，即可算出曲线y=ln（x-1）上的点到直线x-y+4=0的最短距离．

解答 解：设直线x-y+C=0与直线x-y+4=0平行，
且与曲线y=ln（x-1）相切，切点为P（m，ln（m-1）），
由y′=$\frac{1}{x-1}$
∴y'|_x=m=1，即$\frac{1}{m-1}$=1，可得m=2，
故切点为P（2，0）
求得P到直线x-y+4=0的距离d=$\frac{2+4}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即曲线y=ln（x-1）上的点到直线x-y+4=0的最短距离是3$\sqrt{2}$，
故选：C

点评 本题求曲线上动点到直线的最短距离，着重考查了点到直线的距离公式和导数的几何意义等知识，属于基础题．